والسابع المنفرج الزاوية المختلف الأضلاع مثل هذا : فصل في بيان تلك الخواص واعلم يا أخي بأن لكل واحد من هذه المثلّثات خاصيّة ليست للآخر ، فقد تبيّن ذلك في كتاب أوقليدس في المقالة الأولى ببراهينها ، ولكن نذكر منها الخاصيّة التي تشتمل على سبعتها كلّها . وذلك أن من خاصيّة كل شكل مثلّث أيّ مثلّث كان ، أنه لا بدّ من أن يكون فيه زاويتان حادّتان ، فأما الزاوية الثالثة فيمكن أن تكون حادّة أو قائمة أو منفرجة . ومن خاصّيّتها أيضا أن ثلاث زوايا كل مثلّث مجموعها مساو لزاويتين قائمتين ، ومن خاصّيّتها أيضا أن الضّلع الأطول من كل مثلّث بوتر الزاوية العظمى ، ومن خاصّيّتها ان كلّ ضلعين مجموعين من كل مثلّث أطول من الضّلع الثالث ، ومن خاصّيّتها أيضا انه إذا أخرج ضلع من أضلاعه ، أيّ ضلع كان على استقامته ، فإنه يحدث زاوية خارجة من المثلّث ، وتكون هي أكبر من كل زاوية تقابلها ، ويكون مساويا للداخلتين المقابلتين لها . ومن خاصّيّتها أيضا ان ضرب مسقط الحجر من كل مثلّث في نصف قاعدتها هو مساحة ذلك المثلّث . وأما خاصّيّة المثلّث القائم الزاوية فهي أن مربّع وتر الزاوية القائمة مساو للمربّعين الكائنين من الضّلعين . ومن خاصّيّة المثلث الحادّ الزاوية ان مربّع الوتر اقلّ من مربّع الضلعين